Как найти среднее арифметическое

Мода выборки

Иногда важно знать не среднее арифметическое выборки, а то, какая из ее вариант встречается наиболее часто. Так, при управлении магазином одежды менеджеру не важен средний размер продаваемых футболок, а необходима информация о том, какие размеры наиболее популярны

Для этого используется такой показатель, как мода выборки.

В примере с математическим тестом сразу 3 ученика набрали по 13 баллов, а частота всех других вариант не превысила 2, поэтому мода выборки равна 13. Возможна ситуация, когда в ряде есть сразу две или более вариант, которые встречаются одинаково часто и чаще остальных вариант. Например, в ряде

1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5

варианты 3 и 5 встречаются по три раза. В таком случае ряд имеет сразу две моды – 3 и 5, а всю выборку именуют мультимодальной. Особо выделяется случай, когда в выборке все варианты встречаются с одинаковой частотой:

6, 6, 7, 7, 8, 8.

Здесь числа 6, 7 и 8 встречаются одинаково часто (по два раза), а другие варианты отсутствуют. В таких случаях говорят, что ряд не имеет моды.

СРЗНАЧ (функция СРЗНАЧ)

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции СРЗНАЧ в Microsoft Excel.

Возвращает среднее значение (среднее арифметическое) аргументов. Например, если диапазон a1: A20 содержат числа, формула =СРЗНАЧ (a1: A20) Возвращает среднее арифметическое этих чисел.

Аргументы функции СРЗНАЧ описаны ниже.

Число1. Обязательный аргумент. Первое число, ссылка на ячейку или диапазон, для которого требуется вычислить среднее значение.

Число2. Необязательный. Дополнительные номера, ссылки на ячейки или диапазоны, для которых вычисляется среднее значение максимум в 255.

Аргументы могут быть числами, именами или ссылками на диапазоны или ячейки, содержащие числа.

Логические значения и текстовые представления чисел, которые непосредственно введены в список аргументов, не учитываются.

Если аргумент является ссылкой на диапазон или ячейку, содержащую текст или логические значения, или ссылкой на пустую ячейку, то такие значения игнорируются; однако ячейки, которые содержат нулевые значения, учитываются.

Аргументы, являющиеся значениями ошибок или текстом, которые не могут быть преобразованы в числа, вызывают ошибки.

Если логические значения и текстовые представления чисел необходимо учитывать в расчетах, используйте функцию СРЗНАЧА.

Если требуется вычислить среднее значение только для тех значений, которые удовлетворяют определенным критериям, используйте функцию СРЗНАЧЕСЛИ или СРЗНАЧЕСЛИМН.

Примечание: Функция СРЗНАЧ вычисляет среднее значение, то есть центр набора чисел в статистическом распределении. Существует три наиболее распространенных способа определения среднего значения, описанных ниже.

Среднее значение — это среднее арифметическое, которое вычисляется путем сложения набора чисел с последующим делением полученной суммы на их количество. Например, средним значением для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 5, которое является результатом деления их суммы, равной 30, на их количество, равное 6.

Медиана — это число, которое является серединой множества чисел, то есть половина чисел имеют значения большие, чем медиана, а половина чисел имеют значения меньшие, чем медиана. Например, медианой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 4.

Мода — это число, наиболее часто встречающееся в данном наборе чисел. Например, модой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 3.

При симметричном распределении множества чисел эти величины оценки степени централизации равны. При ассиметричном распределении множества чисел они могут отличаться.

Совет: При вычислении средних значений ячеек следует учитывать различие между пустыми ячейками и ячейками, содержащими нулевые значения, особенно если в диалоговом окне Параметры Excel настольного приложения Excel снят флажок Показывать нули в ячейках, которые содержат нулевые значения. Если этот флажок установлен, пустые ячейки игнорируются, но нулевые значения учитываются.

Местонахождение флажка Показывать нули в ячейках, которые содержат нулевые значения

Откройте вкладку Файл , а затем нажмите кнопку Параметры и в категории Дополнительно найдите группу Показать параметры для следующего листа.

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

В чём здесь фокус?

Среднее гармоническое действительно не самая очевидная вещь. Дело в том, что если бы у вас было две разных установки, одна из которых работает со скоростью 10 деталей/час, а другая — 20 деталей/час, конечно, их средняя производительность составляла бы 15 деталей/час. В этом случае вы имеете полное право просто сложить их производительность и вычислить среднее арифметическое, ведь установки работают независимо друг от друга.

Если не верите в среднее гармоническое, можно устроить себе обратную проверку. Мы утверждаем, что наша универсальная установка по заготовке и полировке деталей справляется с 7,14 деталями в час. Проверим: мы знаем, что за час машина либо обрабатывает 25 деталей, либо полирует 10. Получаем:

Подготовка: 7,14/25 = 0,29 часов Полировка: 7,14/10 = 0,71 часов

Да-да, 0,29 + 0,71 = 1, цифры работают: для полного цикла изготовления 7,14 деталей действительно требуется один час.

Максимальное и минимальное

Вот как найти максимальное значение в Excel:

1. Поставьте курсор-ячейку в любое место.
2. Перейдите в меню «Формулы».
3. Нажмите «Вставить функцию».
4. В списке выберите «МАКС». Или напишите это слово в поле «Поиск» и нажмите «Найти».
5. В окне «Аргументы» введите адреса диапазона, максимальное значение которого вам нужно узнать. В Excel имена клеток состоят из буквы и цифры («B1», «F15», «W34»). А название диапазона — это первая и последняя ячейки, которые в него входят.
6. Вместо адреса можно написать несколько чисел. Тогда система покажет самое большее из них.
7. Нажмите «OK». В клетке, в которой стоял курсор, появится результат.

Следующий шаг — укажите диапазон значений

Теперь будет легче разобраться, как найти минимальное значение в Excel. Алгоритм действий полностью идентичен. Просто вместо «МАКС» выберите «МИН».

Инструкция

1. Если вам потребовалось вычислить определенный интервал времени в программе Excel, не спишите применять сложные математические формулы. Большинство подсчетов можно произвести при помощи простейших математических действий, таких как сложение и вычитание. Главное установить нужный формат ячеек.
2. Для начала вам нужно выделить группу ячеек, в которой будут расположены временные значения. Кликните по выделенной группе или одной ячейке правой клавишей мыши и в открывшемся меню нажмите на команду «Формат ячеек».
3. Будет запущенно новое диалоговое окно, в нем нужно перейти на вкладку «Число». В левой части этого окна укажите пункт «Время», в правой части окна появятся настройки данного формата. Функция «Формат ячеек»

Выберите подходящий вид временного результата и нажмите кнопку ОК.

После присвоения ячейкам временного формата, введите в нужные ячейки значения время в формате XX:XX или XX:XX:XX. Теперь выберите ячейку для вывода результата, в поле для ввода формулы впишите знак «Равно» и кликните по ячейке с конечным значением. Теперь впишите знак «минус» и нажмите на ячейку с начальным значением. Нажмите ввод.

Пример: если вам нужно вычислить интервал времени от 11:20:20 до 13:30:00, эти данные должны быть вписаны в ячейки А1 и В1 соответственно, а в ячейке с результатом (например, С1) должна быть формула: =В1-А1. Если формат ячеек указан верно, то должен быть выведен результат 2:9:40. Вычисление интервала времени

В том случае, если вам необходимо подсчитать несколько временных значений, то просто растяните маркер автоматического заполнения от ячейки С1 на нужную группу результатов.

Для того, чтобы вычислить сумму всех полученных результатов воспользуйтесь стандартной функцией сложения. Укажите ячейку, в которой должен быть выведен общий результат, и выберите команду Fx, в загрузившемся окне укажите опцию СУММ. Обозначьте все ячейки, результат из которых нужно подсчитать. Нажмите клавишу Enter, в ячейке с итоговым значением должна быть формула: =СУММ(С1:С5), если вы выбрали ячейки от С1 до С5

Обратите внимание, что всем этим ячейкам должен быть присвоен временной формат.

Средневзвешенное значение: особенности

Однако все вышеперечисленные величины могут быть использованы не везде. Например, в статистике при расчете некоторых средних значений важную роль имеет «вес» каждого числа, используемого в вычислениях. Результаты являются более показательными и корректными, поскольку учитывают больше информации. Эта группа величин носит общее название «средневзвешенное значение». Их в школе не проходят, поэтому на них стоит остановиться поподробнее.

Прежде всего, стоит рассказать, что подразумевается под «весом» того или иного значения. Проще всего объяснить это на конкретном примере. Два раза в день в больнице происходит замер температуры тела у каждого пациента. Из 100 больных в разных отделениях госпиталя у 44 будет нормальная температура — 36,6 градусов. У еще 30 будет повышенное значение — 37,2, у 14 — 38, у 7 — 38,5, у 3 — 39, и у двух оставшихся — 40. И если брать среднее арифметическое, то эта величина в общем по больнице будет составлять больше 38 градусов! А ведь почти у половины пациентов совершенно нормальная температура. И здесь корректнее будет использовать средневзвешенное значение, а «весом» каждой величины будет количество людей. В этом случае результатом расчета будет 37,25 градусов. Разница очевидна.

В случае средневзвешенных расчетов за «вес» может быть принято количество отгрузок, число работающих в тот или иной день людей, в общем, все что угодно, что может быть измерено и повлиять на конечный результат.

Вычисление среднего арифметического с помощью Мастера функций

Мастер функций – это универсальная возможность Excel, позволяющая осуществлять самые сложные расчеты, при этом не зная названий формул. Достаточно просто выбрать правильную из списка, а потом вести правильные аргументы. Причем все они показываются в отдельном диалоговом окне с подсказками. Так что пользователь легко может разобраться, какая функция за что отвечает и какой она имеет синтаксис.

Чтобы вызвать мастер функций, необходимо нажать комбинацию клавиш Shift + F3 или найти возле строки ввода формул клавишу fx. После того, как это сделать, появится окошко, в котором нам нужно найти функцию «СРЗНАЧ». Значительно проще искать нужную нам функцию, если выбрать ее тип. В специальном выпадающем меню, расположенном в верхней части экрана, нужно выбрать пункт: «Статистические». Тогда перечень существенно сузится и будет проще выбирать.

Потом появится еще одно окно, в котором можно осуществить ввод аргументов функции СРЗНАЧ.

Частный вариант – вызов функции вывода среднего арифметического из ленты. Для этого надо найти вкладку «Формулы», потом перейти в раздел «Другие функции», там навести мышью на пункт «Статистические». После всех этих операций появится функция СРЗНАЧ.

4

Панель формул

Каждый документ содержит панель формул, которая меняется в зависимости от того, какую ячейку выбрать. Если формула там есть, то она там будет записана. Если формула отсутствует, то там тогда будет отображаться просто значение ячейки (например, если там записан просто текст). На этом скриншоте видно конкретный пример, как может использоваться строка ввода формул. С ее помощью можно посмотреть на то, какая формула кроется за определенным числом (13,2) на примере, а также отредактировать аргументы. Или вообще убрать старую формулу и ввести новую. Или убрать все формулы, а оставить пустое значение или число. Возможностей у нее много достаточно. Можно выбрать любую, которая поможет выполнить поставленную задачу.

Ручной ввод функций

Функция СРЗНАЧ относится к простым. Ее легко запомнить, а также она содержит всего один аргумент. Поэтому мы ее введем вручную. В качестве примера будем использовать скриншот, приведенный выше. Как видим, можно использовать два разрозненных диапазона, не соединенных непосредственно между собой. 

Мы введем ее вручную.

=СРЗНАЧ(A1:B1;F1:H1)

Очевидно, что в соответствующих местах нужно выставлять свои адреса. Если нужно, чтобы при копировании в другие ячейки они сохранялись, не стоит забывать делать ссылки абсолютными. Для этого их нужно выделять, а потом нажимать кнопку F4.

Настоятельно рекомендуется запоминать все функции, которые изучаете, потому что в будущем это позволит очень сильно сэкономить время. 

Расчет среднего значения по условию

Может понадобиться находить среднее значение для определенных чисел только при условии, что они соответствуют конкретному критерию. Условие может быть любым, как текстовым, так и числовым. Также она может записываться как непосредственно в формулу, так и в другие ячейки.

Можно, конечно, использовать функцию ЕСЛИ в сочетании с функцией СРЗНАЧ, но это немного тяжеловатая задача. Если приходится эту комбинацию использовать очень часто, на это всё требуется много времени. Значительно разумнее использовать функцию СРЗНАЧЕСЛИ. В ней в разных ситуациях используется два или три аргумента, но их водить всё равно быстрее, чем прописывать две разные функции в одну формулу.

Представим такую ситуацию: нам руководство поставило задачу определить среднее арифметическое для тех значений, которые равняются или больше 10. 

Конечная формула будет следующей:

 =СРЗНАЧЕСЛИ(A1:A8;”>=10″)

5

В результате, получится такое значение.

6

Разберем аргументы этой функции более подробно.

1. Диапазон. Это непосредственно тот диапазон, в котором будет содержаться набор критериев.
2. Условие. Это непосредственно условие. То есть, значение должно как-то соотноситься с критерием. В нашем случае оно должно быть больше или равно 10.
3. Диапазон усреднения. Необязательный аргумент, который используется если значения, для которых нужно искать среднее арифметическое, находятся в другом месте, а не непосредственно являются критериями. 

Мы опустили третий пункт, потому что в первом аргументе диапазон числовой, в то время как его лучше использовать лишь при текстовых критериях там.

Использование reduce() и lambda()

Мы можем использовать функцию reduce() вместе с функцией lambda().

Функция reduce() в основном используется для применения определенной (входной) функции к набору элементов, переданных в функцию.

Синтаксис:

reduce(function,input-list/sequence)

• Первоначально функция reduce() применяет переданную функцию к первым двум последовательным элементам и возвращает результат.
• Далее мы применяем ту же функцию к результату, полученному на предыдущем шаге, и к элементу, следующему за вторым элементом.
• Этот процесс продолжается, пока не дойдет до конца списка.
• Наконец, результат возвращается на терминал или экран в качестве вывода.

Функция lambda() используется для создания и формирования анонимных функций, то есть функции без имени или подписи.

Синтаксис:

lambda arguments:function

Пример:

from functools import reduce 

inp_lst = 

lst_len= len(inp_lst)

lst_avg = reduce(lambda x, y: x + y, inp_lst) /lst_len 
print("Average value of the list:\n") 
print(lst_avg) 
print("Average value of the list with precision upto 3 decimal value:\n")
print(round(lst_avg,3))

Вывод:

Average value of the list:

67.51375
Average value of the list with precision upto 3 decimal value:

67.514

Как в Экселе вычислить среднее арифметическое?

​ — 3.​ и делите на​ значения см. статью Средневзвешенная​Для решения этой задачи​ среднего качества всех​СУММПРОИЗВ​выберите пункт​ Если строка состояния не​ данных в ячейку​ 29,38297872.​ с текстом «Средняя​+C.​ ее текст может​ отличаются.​ адреса ячеек, в​ категории «Редактирование» нажмите​

​25​​Эти три меры центральной​ то число, сколько​ цена в MS​ в EXCEL существует​ изделий, у которых​.​Строка состояния​​ отображается, в меню​ A1 пустого листа.​Вы можете создать формулу,​ цена изделия».​Выделите на листе ячейку​ содержать неточности и​При желании можно избежать​ которых расположены числовые​ по кнопке «Автосумма»,​750​ тенденции симметричную распределение​ столбиков с цифрами,​ EXCEL​ стандартная функция СРЗНАЧ().​ оценка качества выше​Совет:​.​Вид​Создайте пустую книгу или​ которая исключает определенные​На вкладке​ A1, а затем​ грамматические ошибки. Для​ взаимодействия с Мастером​ значения для расчета.​ однако жать необходимо​35​ ряда чисел, являются​​ которые Вы складывали,​​И еще, как определенную​​ Вычисления выполняются в​ 5.​ Чтобы быстро найти функцию,​Расчет среднего с отображением​выберите пункт​ лист.​ значения

В приведенном​Формулы​ нажмите клавиши​ нас важно, чтобы​

​ функции, если знать​​ Сделать это можно​ на стрелочку рядом​200​ одни и те​ у Вас стоит​ функцию с номерами​ соответствии с хорошо​Выделите ячейку A10, расположенную​ начните вводить ее​ на листе​Строка состояния​

​Выделите приведенный ниже образец​

• Excel диапазон значений
• Как в excel 2010 убрать нулевые значения
• Excel значение ячейки
• Excel максимальное значение
• Excel найти минимальное значение в ряду чисел
• Excel поиск в значения диапазоне
• Excel поиск значения по нескольким условиям в excel
• Excel сложить значения ячеек в excel
• Абсолютное значение в excel
• Excel уникальные значения
• В excel найти значение в массиве
• В excel минимальное значение в ряду чисел

Как ведёт себя Excel

Потом только нужно менять несколько исходных цифр при изменении данных, и тогда Excel выполнит сразу несколько действий, арифметических и прочих. Он в документе:

Для этого у программы электронных таблиц (а Excel — далеко не одна такая) имеется целый арсенал арифметических средств и готовых функций, выполняемых по уже отлаженным и работоспособным программам. Надо только указать в любой ячейке, когда пишем формулу, среди прочих операндов имя соответствующей функции и в скобочках к ней — аргументы.

Функций очень много и они сгруппированы по областям применения:

Для обобщения множестенных данных есть целый набор статистических функций. Получить среднее значение каких-то данных, это, наверное, самое первое, что приходит в голову статистику, когда он смотрит на цифры.

Что такое среднее значение?

Это когда берётся некоторый ряд чисел, подсчитываются два значения по ним — общее количество чисел и общая их сумма, а потом второе делится на первое. Тогда получится число, по значению своему стоящее где-то в самой серёдке ряда. Быть может, даже совпадёт с каким-то из чисел ряда.

Ну что ж, будем считать, что тому числу страшно повезло в этом случае, но обычно арифметическое среднее бывает не только не совпадающим ни с одним из чисел своего ряда, но даже, как говорится, «не лезущим ни в какие ворота» в этом ряду. Например, среднее количество человек

, живущих в квартирах какого-то города N-ска, может оказаться 5,216 человек. Это как? Живут 5 человек и ещё довесок в 216 тысячных долей одного из них? Знающий только ухмыльнётся: да Вы что! Это же статистика!

Статистические (или просто учётные) таблицы могут быть совершенно разных форм и размеров. Собственно, форма, прямоугольник, но они бывают широкие, узкие, повторяющиеся (скажем, данные за неделю по дням), разбросанные на разных листах Вашей workbook — рабочей книги.

А то и вообще в других workbook (то есть в книгах, по-английски), а то и на других компьютерах в локальной сети, или, страшно сказать, в других концах нашего белого света, теперь объединённого всесильной сетью Internet. Много информации можно получать из весьма солидных источников в Интернет уже в готовом виде. После чего обрабатывать, анализировать, делать выводы

, писать статьи, диссертации…

Собственно говоря, сегодня нам нужно просто на некотором массиве однородных данных посчитать среднее, используя чудодейственную программу электронных таблиц

. Однородных — значит данные о каких-то подобных объектах и в одних и тех же единицах измерения. Чтобы людей никогда не суммировать с мешками картошки, а килобайты с рублями и копейками.

Как посчитать среднее измерение

Средняя арифметическая величина выборки

характеризует средний уровень значений изучаемой случайной величины в наблюдавшихся случаях и вычисляется путем деления суммы отдельных величин исследуемого признака на общее число наблюдений:

где — значение конкретного показателя,

— число показателей (случаев).

Практическое задание : рассчитать среднее арифметическое значение измерений силы кисти спортсмена по следующим результатам: 46, 50, 59, 60, 55, 49 кг.

Среднее арифметическое дает возможность:

1) охарактеризовать исследуемую совокупность одним числом;

2) сравнить отдельные величины со средним арифметическим;

3) определить тенденцию развития какого-либо явления;

4) сравнить разные совокупности;

5) вычислить другие статистические показатели, так как многие статистические вычисления опираются на среднее арифметическое.

Однако одно только среднее арифметическое не дает возможности глубоко анализировать сущность того или иного явления и их взаимные различия!

При анализе статистической совокупности одним из важных показателей является расположение значений элементов совокупности вокруг среднего значения (варьирование). Для характеристики варьирования в практике исследовательской работы рассчитывают среднее квадратическое (или стандартное) отклонение , которое отражает степень отклонения результатов от среднего значения, выражается в тех же единицах измерения.

Стандартное отклонение обозначается знаком (сигма) и вычисляется по формуле:

где — ) — сумма разности квадратов между каждым показателем и средней арифметической величиной (сумма квадратов отклонений);

— объем выборки (число измерений или испытуемых).

Если число измерений не более 30, т.е. 30, используется формула:

Порядок вычислений (1 вариант):

1. Заполнить первые две колонки таблицы расчетов (вычисление стандартного отклонения на примере показателей шести результатов измерения кистевой динамометрии).

2. Рассчитать среднюю арифметическую величину:

3. Вычислить разность между каждым показателем и данной средней (третья колонка таблицы).

4. Полученные разности возвести в квадрат и суммировать (четвертая колонка таблицы).

5. Вычислить среднее квадратическое отклонение по формуле:

Порядок вычислений (2 вариант):

Более простой способ вычисления стандартного отклонения осуществляется по следующей формуле:

где — наибольшее значение показателя; Х — наименьшее значение показателя; табличный коэффициент (табл. 3).

Чем меньше величина , тем плотнее результаты около средней, что может говорить как о стабильности показателей одного испытуемого, так и ровности результатов группы или одинаковой подготовленности спортсменов.

Выборка результатов (какой бы она не была большой) не совпадает по абсолютной величине с соответствующими генеральными параметрами. Например, результаты физической подготовленности мастеров спорта одной спортивной школы не могут точно характеризовать результаты всех мастеров спорта страны. Величина отклонения выборочной средней от ее генерального параметра называется статистической стандартной ошибкой выборочного среднего арифметического . Иногда этот показатель называется просто ошибкой средней .

Этот показатель обозначается символом и рассчитывается по формулам:

где — среднее квадратическое отклонение выборочной совокупности;

— объем выборки (число измерений или испытуемых).

Значение стандартной ошибки средней арифметической ( указывает, насколько изменится среднее значение, если его перенести на всю генеральную совокупность.

Например, при измерениях у 20 спортсменов угла в коленном суставе ноги, стоящей на задней стартовой колодке, был получен следующий результат:

Это обозначает, что полученная средняя арифметическая величина в других аналогичных исследованиях может иметь значения от до .

Практическое задание : студенты рассчитывают m среднего арифметического силы кисти руки спортсмена и делают вывод по следующим исходным данным:

Источник

Понятие выборки и генеральной совокупности

Слово статистика, образованное от латинского status(состояние дел), появилось только в 1746 году, когда его употребил немец Готфрид Ахенвалль. Однако ещё в Древнем Китае проводились переписи населения, в ходе которых правители собирали информацию о своих владениях и жителях, проживающих в них.

В основе любого статистического исследования лежит массив информации, который называют выборкой данных. Покажем это на примере. Пусть в классе, где учится 20 учеников, проводился тест по математике, содержавший 25 вопросов. В результате учащиеся показали следующие результаты:

Ряд чисел, приведенный во второй строке таблицы (12, 19, 19, 14, 17, 16, 18, 20, 15, 25, 13, 20, 25, 16, 17, 12, 24, 13, 21, 13), будет выборкой. Также ее могут называть рядом данных или выборочной совокупностью.

В примере с классом выборка состоит из 20 чисел. Эту величину (количество чисел в ряду) называют объемом выборки. Каждое отдельное число в ряду именуют вариантой выборки.

В примере со школьным классом в выборку попали все его ученики. Это позволяет точно определить, насколько хорошо учащиеся написали математический тест. Однако иногда необходимо проанализировать очень большие группы населения, состоящие из десятков и даже сотен миллионов человек. Например, необходимо узнать, какая часть населения страны курит. Опросить каждого жителя государства невозможно, поэтому в ходе исследования опрашивают лишь его малую часть. В этом случае статистики выделяют понятие генеральная совокупность.

Так, если с помощью опроса 10 тысяч человек ученые делают выводы о распространении курения в России, то все российское население будет составлять генеральную совокупность исследования, а опрошенные 10 тысяч людей вместе образуют выборку.

Какие способы вычисления среднего бывают?

Первым способом является вычисление уже упомянутого среднего арифметического, являющегося суммой всех значений, деленной на их количество.

Формула:

• x– среднее арифметическое;
• x_n – конкретное значение;
• n – количество значений.

Плюсы:

• Хорошо работает при нормальном распределении значений в выборке;
• Легко вычислить;
• Интуитивно понятно.

Минусы:

• Не дает реального представления о распределении значений;
• Неустойчивая величина легко поддающаяся выбросам (как в случае с генеральным директором).

Вторым способом является вычисление моды, то есть наиболее часто встречающегося значения.

Формула:

• M– мода;
• x– нижняя граница интервала, который содержит моду;
• n – величина интервала;
• f_m– частота (сколько раз в ряду встречается то или иное значение);
• f_m-1 – частота интервала предшествующего модальному;
• f_m+1 – частота интервала следующего за модальным.

Плюсы:

• Прекрасно подходит для получения представления об общественном мнении;
• Хорошо подходит для нечисловых данных (цвета сезона, хиты продаж, рейтинги);
• Проста для понимания.

Минусы:

• Моды может просто не быть (нет повторов);
• Мод может быть несколько (многомодальное распределение).

Третий способ — это вычисление медианы, то есть значения, которое делит упорядоченную выборку на две половины и находится между ними. А если такого значения нет, то за медиану принимается среднее арифметическое между границами половин выборки.

Формула:

• M_e – медиана;
• x– нижняя граница интервала, который содержит медиану;
• h – величина интервала;
• f _i – частота (сколько раз в ряду встречается то или иное значение);
• S_m-1 – сумма частот интервалов предшествующих медианному;
• f_m – число значений в медианном интервале (его частота).

Плюсы:

• Дает самую реалистичную и репрезентативную оценку;
• Устойчива к выбросам.

Минусы:

Сложнее вычислить, так как перед вычислением выборку нужно упорядочить.

Мы рассмотрели основные методы нахождения среднего значения, называющиеся мерами центральной тенденции (на самом деле их больше, но это наиболее популярные).

А теперь давайте вернемся к нашему примеру и посчитаем все три варианта среднего при помощи специальных функций Excel:

•  — функция для определения среднего арифметического;
•  — функция моды (в более старых версиях Excel использовалась );
•  — функция для поиска медианы.

И вот какие значения у нас получились:

В данном случае мода и медиана гораздо лучше характеризуют среднюю зарплату в компании.

Но что делать, когда в выборке не 10 значений, как в примере, а миллионы? В Excel это не посчитать, а вот в базе данных где хранятся ваши данные, без проблем.

Вычисляем среднее арифметическое на SQL

Тут все достаточно просто, так как в SQL предусмотрена специальная агрегатная функция .

И чтобы ее использовать достаточно написать вот такой запрос:

/* Здесь и далее salary - столбец с зарплатами, а employees - таблица сотрудников в нашей базе данных */

SELECT AVG(salary) AS 'Средняя зарплата'
FROM employees

Вычисляем моду на SQL

В SQL нет отдельной функции для нахождения моды, но ее легко и быстро можно написать самостоятельно. Для этого нам необходимо узнать, какая из зарплат чаще всего повторяется и выбрать наиболее популярную.

Напишем запрос:

/* WITH TIES необходимо добавлять к TOP() если множество многомодально, то есть у множества несколько мод */
SELECT TOP(1) WITH TIES salary AS 'Мода зарплаты'
FROM employees
GROUP BY salary
ORDER BY COUNT(*) DESC

Вычисляем медиану на SQL

Как и в случае с модой, в SQL нет встроенной функции для вычисления медианы, зато есть универсальная функция для вычисления процентилей .

Выглядит все это так:

/* В данном случае процентиль 0.5 и будет являться медианой */

SELECT TOP(1) PERCENTILE_CONT(0.5)
       WITHIN GROUP (ORDER BY salary)
       OVER() AS 'Медианная зарплата'
FROM employees

Подробнее о работе функции  лучше почитать в справке Microsoft и .

Подсчет среднего арифметического

Формула для вычислений предельно проста:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

где an – значение величины, n – общее количество значений.

Для чего может использоваться данный показатель? Первое и очевидное его применение — это статистика. Практически в каждом статистическом исследовании используется показатель среднего арифметического. Это может быть средний возраст вступления в брак в России, средняя оценка по предмету у школьника или средние траты на продукты в день. Как уже говорилось выше, без учета весов подсчет средних значений может давать странные или абсурдные значения.

К примеру, президент Российской Федерации сделал заявление, что по статистике, средняя зарплата россиянина составляет 27 000 рублей. Для большинства жителей России такой уровень зарплаты показался абсурдным. Не мудрено, если при расчете учитывать размер доходов олигархов, руководителей промышленных предприятий, крупных банкиров с одной стороны и зарплаты учителей, уборщиков и продавцов с другой. Даже средние зарплаты по одной специальности, например, бухгалтера, будут иметь серьезные отличия в Москве, Костроме и Екатеринбурге.

Свойства средней арифметической (математического ожидания)

Теперь рассмотрим свойства средней арифметической, которые часто используются при алгебраических манипуляциях. Правильней будет вновь вернутся к термину математического ожидания, т.к. именно его свойства приводят в учебниках.

Матожидание в русскоязычной литературе обычно обозначают как M(X), в иностранных учебниках можно увидеть E(X). Встречается обозначение греческой буквой μ (читается «мю»). Для удобства предлагаю вариант M(X).

Итак, свойство 1. Если имеются переменные X, Y, Z, то математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий.

M(X+Y+Z) = M(X) + M(Y) + M(Z)

Допустим, среднее время, затрачиваемое на мойку автомобиля M(X) равно 20 минут, а на подкачку колес M(Y) – 5 минут. Тогда общее среднее арифметическое время на мойку и подкачку составит M(X+Y) = M(X) + M(Y) = 20 + 5 = 25 минут.

Свойство 2. Если переменную (т.е. каждое значение переменной) умножить на постоянную величину (a), то математическое ожидание такой величины равно произведению матожидания переменной и этой константы.

M(aX) = aM(X)

К примеру, среднее время мойки одной машины M(X) 20 минут. Тогда среднее время мойки двух машин составит M(aX) = aM(X) = 2*20 = 40 минут.

Свойство 3. Математическое ожидание постоянной величины (а) есть сама эта величина (а).

M(a) = a

Если установленная стоимость мойки легкового автомобиля равна 100 рублей, то средняя стоимость мойки нескольких автомобилей также равна 100 рублей.

Свойство 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

M(XY) = M(X)M(Y)

Автомойка за день в среднем обслуживает 50 автомобилей (X). Средний чек – 100 рублей (Y). Тогда средняя выручка автомойки в день M(XY) равна произведению среднего количества M(X) на средний тариф M(Y), т.е. 50*100 = 500 рублей.